Newtons gravitasjonslov og mulige planetbanar

Sirkelens perfeksjon

Etter at Nicolaus Kopernicus hadde gjenintrodusert det heliosentriske verdenssysemet var debatten omkring verdenssystema langt frå over For Kopernicus hadde ganske riktig plassert sola i sentrum for solsystemet, men meinte som sine forgjengarar, at planetane gjekk i sirkelbanar. Ein sirkel vart sett på som perfekt og gudegitt, og slik måtte også bevegelsen til himmel-lekamane vera. Heilt frå dei greske astronomane var ingen i stand til å forestilla seg at planetane kunne bevega seg langs ei anna linje enn sirkelen. Men antagelsen medførte problemer for Kopernicus, og på same måten som Ptolemaios måtte han innføra episyklar for å forklara detaljane i planetbevegelsane. Det vart Johannes Kepler (1571-1630) som løyste dette problemet med sine tre lover.

Dei to første av Keplers lover vart publisert i 1609 i boka Astronomia nova, og er basert på data som han hadde fått av Tycho Brahe angåande banen til Mars. Det er antatt at Brahe valde ut data om Mars fordi dei var spesielt problematiske, i den hensikt å halda Kepler i arbeid for at han ikkje skulle overta plassen som den største astronomen. Ironisk nok var Marsbanen vanskelig å forklara nettopp fordi den er den mest avlange av dei banane som Brahe hadde gode data på, og dermed gav han Kepler akkurat dei tala han trengte for å formulera ein meir korrekt teori for solsystemet som dermed fortrengte Brahe sin egen teori.

Det var derfor eit stort og avgjerande steg då Kepler, etter mange års studier, forsto at planetene ikkje går i sirkelbanar men i ellipsebanar. Dei fleste av disse banane er nesten heilt sirkelforma, mens andre er meir langstrakte. Keplers lover er empiriske, dvs. dei beskriv planetenes bevegelser rundt sola, basert på observerte data. Men vitenskapen er alltid opptatt av å finne lovmessigheter bak de observerte fenomenene. Kepler visste at det måtte vera ei kraft fra sola som styrte planetbevegelsene, men det var Isaac Newton som fant lova for denne krafta. Newtons gravitasjonslov er eit godt eksempel på at sjøl om dei naturfenomena som lova beskriv er mangeartea og komplekse, så er lova enkel i sin form:

Dette betyr at den krafta som virkar mellom to gjenstandar er proporsjonal med produktet av massane m1 og m2 til gjenstandane, og omvendt proporsjonal med kvadratet av avstanden, r mellom dei. Størrelsen G er ein Newtons gravitasjonskonstant og har verdien 6.67 * 10-11 N m2 / kg2

Løysingar av Newtons gravitasjonslov

Ved å bruka denne loven kan ein setja opp likningar som gjeld for eit system av to eller fleire gjenstandar. For to (feks. ei planet + sola) kan disse likningane løysast eksakt, og det viser seg at nettopp ellipsen er ei av løysingane. Men det er også andre muligheter.

I alt fins det fire mulige løysingar på likningane. Det er sirkelen, ellipsen, parabelen og hyperbelen. Dette er dei fire mulige kjeglesnitta. Av disse er dei to siste nemlig hyperbelen og parabelen, egentlig ikkje banar rundt sola, men kurver for gjenstandar som nærmar seg sola for så å forsvinna igjen. Det fins ei mengde hyperboliske kometar som har vore innom vårt solsystem og reist igjen. Dette er kometar som har stor nok fart, og dermed kinetisk energi, til å riva seg laus frå sola sitt gravitasjonsfelt. Planetane og kometar som går i ellipsebanar har ikkje nok energi, og er fanga i gravitasjonsfeltet. Den parabolske banen er eit grensettilfelle, og eg har ikkje funne noken kometar med eksakt parabolsk bane. Det fins likevel mange tilbakevendande kometar med ein så langstrakt bane at den er nesten parabolsk. Dei har omløpstider på noken tusen år til fleire hundre tusen år.

Disse fire løysingane passar altså for jorda og andre himmellekamar sin bevegelse rundt sola, så lenge vi ikkje tar hensyn til andre objekt. Ein naturlig fortsettelse var dermed å prøva å løysa problemet for to planeter i bane rundt sola, altså for tre legemer. Dette kalles for tre-legeme-problemet, og mange av dei beste innan matematikk og fysikk jobba med dette problemet på 1800-tallet. Men det skulle visa seg å bli vanskeligare enn dei trudde, for tre-legeme-problemet er faktisk umulig å løysa generelt.

Lagrange-punkt

Likevel klarte matematikarane å visa at under visse forutsetninger så er tre-legeme-problemet løysbart. For eksempel fant Joseph-Louis Lagrange ut at hvis alle beveger seg i samme plan, og hvis ein av gjenstandene har veldig liten masse, så kan dei tre gjenstandane bevega seg slik at de alltid har samme avstand i forhold til hverandre. Figuren viser sola i midten med jorda kretsande rundt. (Blått) Eit lite objekt, for eksempel ein romsonde, kan då følja jordens bane slik at den har konstant avstand til jorden. Dette kan skje hvis den befinn seg i eit av fem punkt som kallast Lagrangepunkt. (L1- L5 på figuren.)

Lagrangepunkta er meir eller mindre stabile punkt, som er av stor interesse for romforskarar, blant anna fordi dei muliggjer utplassering av romsonder av ulike slag.

Andre mulige og faktiske baner

cruithne Lagrange si løysing er langt frå den mest eksotiske av dei mulige banane som gravitasjonskrafta kan gi opphav til. I 1997 vart asteroiden  3753 Cruithne oppdaga. Denne asteroiden følgjer også jorda, men på ein så komplisert måte at banen vanskelig lar seg beskriva med ord. Sett fra eit referansesystem som roterer saman med jorda, er ser banen hesteskolignende bane. (Sjå figur) Det er også oppdaga andre følge-asterioder, eller kvasisatelittar, med liknande kompliserte banar, og som ligg nær opp til jorda. Cruithnes bane er ein faktisk bane som er observert. Mange andre banetypar er teoretisk mulig. Dette er basert på datasimuleringar, og ein av disse viser at det er mulig at tre lekamar kan følja kvarandre i eit åttetallsmønster. åttetall Andre datasimuleringar har produsert ei mengde andre figurer som er endå meir kompliserte. Sjå også animasjonen: n-Body Choreographies.

Men sjøl om alle disse banane er kompliserte, så er dei likevel ganske stabile. Dei føljer et visst mønster, og dette mønsteret gjer det mulig å forutsei posisjonen til lekamen med ganske stor nøyaktighet. Slik behøver det ikkje vera. Matematikeren Poincaré viste at tre planeter kan ha ein kaotisk oppførsel, dvs. at dei har ein bane som ikkje er periodisk, og som er vanskelig å berekna fordi en liten feilmåling feks. i dagens posisjon kan gi opphav til en stor feil i den berekna posisjonen, og denne feilen vil auka jo lenger fram i tid ein ynskjer å sjå. Spørsmålet er om slike kaotiske baner bare er en matematisk mulighet eller om det faktisk fins himmel-legemer med kaotisk oppførsel?

Kor stabilt er solsystemet?

Då ein fant ut at mangelegemeproblemer generelt ikke har eksakte løysingar, førte det til en viss usikkerhet. Ein begynte å diskutera om banen til jorda egentlig var stabil, eller om jorda ein gong kanskje ville fly ut av solsystemet. Beregningar basert på Jupiters innvirkning på jorda tyda på at ein burde kunna sjå betydelige variasjonar i jordbanen i løpet av dens historie. Og dette viste seg å vera tilfelle. For eksempel varierer jorda sin eksentrisitet over noken tusen år. Dette fenomenet, som ein meiner har betydning for klimaer, er forårsaka av Jupiter. Men dette behøver ikke å bety at jordbanen er kaotisk

Det finnes mange eksempel på ustabilitet i vårt eige solsystem. Noken asteroider kan endra sine baner dramatisk på grunn av Jupiters gravitasjon hvis det er et enkelt forhold mellom asteroiden si omløpstid og Jupiter si. Feks. hvis ein asteroide har omløpstid på seks år, vil omløpstidene stå i eit 1:2 forhold sidan jupiter si omløpstid er 12 år. Dermed vil jupiter sin påvirkning på asteroiden gjenta seg på akkurat samme måte, og når dette har skjedd tilstrekkelig mange gonger kan banen bli så avlang at den krysser jorda sin bane og dermed blir en mulig fare. Slike asterioder kalles nær-jorden objekter (NEO- Near Earth Objects) og blir fulgt nøye av astronomane. Mange av disse asteroidane vil fortsetja å endra sine banar inntil dei ender sine dagar ved å kollidera med sola.

Ein trur at på ein tidsskala over milliarder av år, kan jordbanen bli drastisk endra. Beregninger tyder på at dersom jorda var 100 gonger større en den verkelige jorda, så ville den fly ut av solsystemet allerede etter 100 år. Kor lang tid tar det då før den verkelige jorden drar? Dette spørsmålet er enno ikkje tilfredsstillande besvart. Det er mulig at heile solsystemet faktisk er kaotisk, men slike simuleringer er så kompliserte og krever så mykje reknekraft at det ikkje har vore mulig å dra noken sikre konklusjonar. I dag ser det ut til å vera ein konsensus at med stor sannsynlighet vil solsystemet vera stabilt i heile levetida til sola.

LENKER

How Comets Move.
Is the Solar System Stable?
Kepler orbit.
Lissajous orbit.
Parabolic trajectory.
Hyperbolic trajectory.
Physicists Discover a Whopping 13 New Solutions to Three-Body Problem.
Orbital Dynamics: A comprehensive JavaScript/Canvas orbital physics model.
N-body choreographies.